| hexj9 | 2019-03-11 17:27 |
|
0.99999...=1  初一看，这个等式貌似不会成立，0.9999....给人的第一感觉该是无限接近于1、但应该比1小。 这其实是一个被反复提起的数学问题，尤其是在中国各大网络社区中。接下来的问题是：这个等式为什么成立？在什么情况下能成立？如何证明它？ 首先，我们来看看网上流传的三种证明法。 最简单的三种……  直接来看看这三种证明吧： 1、∵1/3=0.33333... 3X0.33333..=0.99999... 3X1/3=1 ∴0.99999...=1 2、令0.99999...为A 10A=10X0.99999...=9.9999... 两边都减去一个A 9A=9.99999...-0.99999... 可以得出：9A=9 两边除以9得出：A=1 ∴0.99999...=1 3、0.99999...=0.9+0.09+0.009+0.0009…… 很明显，右侧是一个求和的无穷递降等比数列。 回忆一下等比数列求和公式：Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q) 而当n趋向于无穷大时，求和公式S=a1/(1-q) ∴0.99999...=0.9/（1-0.1）=0.9/0.9=1 当然，这三种方式都不严谨，只是为了便于让大家理解。例如，第二种方式就是大卫·福斯特·华莱士在他的《Everything and More》一书中给出的。 这个方法迅速被打脸。数学家威廉姆斯·拜尔在《How Mathematicians Think》中评价这个证明：“0.999...既可以代表把无限个分数加起来的过程，也可以代表这个过程的结果。许多学生仅仅把0.999...看作一个过程，但是1是一个数，过程怎么会等于一个数呢？这就是数学中的二义性？他们并没有发现其实这个无限的过程可以理解成一个数。看了上面这个证明而相信等式成立的学生，可能还没有真正懂得无限小数的含义，更不用说理解这个等式的意义了。  至于靠谱的证明法，由于实在是超纲太多，我就不一一说了（我会告诉你，那些证明过程我看了很懵、完全木有看懂吗？） 不过说起来，第三个方法中其实已经用到了极限，所以要理解这个等式，需要先了解下极限。 什么是极限？  百科的解释，“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。 数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。  请注意：“取等于A已经足够取得高精度计算结果”。 所以，按照极限的定义，0.99999..这个无限小数的极限应该就是1。 用极限思想解决问题的一般步骤可概括为： 对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的“影响”趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。 重要的事情说三遍：用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果、用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果、用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果 请相信，用极限的思想方法是有科学性的，因为可以通过极限的函数计算方法得到极为准确的结论。 所以，总而言之一句话，你就只需要知道0.99999….=1就好了。 |
|
